クレジットカードの自動更新

クレジットの有効期限がもうすぐ来るので更新しますよという通知が来ました。が、私が使っているカードは学生の間は年会費無料、卒業したら年会費が必要ですよってタイプなんですね。で、今年卒業なので、新しいカードに切り替えませんかってダイレクトメールが来ていました。ですが、私としてはそんなにクレジットカードをしょっちゅう使っているわけでもありませんので、この際だからと永年年会費無料のタイプに切り替えることにしました。ほっとくと自動更新になってしまうだろうと思って解約しようかと思ったんですが、なかなか生活時間と受付の時間が折り合わず解約の電話を入れられずにいます。
ところで、彼女の話によると、「解約したその日からカードはもう使えない」ってことらしいんですが、実際のところどうなのでしょう？　私はY!BBの使用料金の支払いにクレジットカードを利用しているんですが、今新しくカードを作っても届くのが約1ヶ月後。その頃には自動更新で今のカードが継続されてしまうかも知れないんですよね・・・。でも、カードの有効期限は今年の3月末日。今解約しても、期限までは使えるんじゃないのかなぁと思って解約しようと思ってたんですが、使えないとなるとネットの使用料金が支払えないので困ります・・・。
実際のところ、どうなのでしょう？カードが届くのは1ヵ月後だとして、今月分の請求さえ今のカードで行えたら大丈夫なのですが、今のカードをすぐさま解約しても大丈夫なんでしょうか？
何か知っている方がいらっしゃれば、ぜひ教えてください。お願いします〜_(_^_)_